Müller Thomas
Spazio, tempo e energia. Introduzione alla relatività ristretta. Parte seconda.
Ven, 27/07/2007 - 14:37 — michele_bonaventuraAutore:
Müller Thomas
Ci siamo lasciati sulla non simultaneità degli avvenimenti. Riassumiamo i punti fondamentali:
- ogni osservatore ha il diritto di considerarsi immobile e di esprimere la velocità di ogni oggetto rispetto a se stesso.
- la velocità della luce nel vuoto è sempre la stessa per tutti gli osservatori.
- ne abbiamo dedotto che due avvenimenti simultanei per un osservatore non lo sono per forza per un altro
Il prossimo passo consiste nel discutere lo scorrere del tempo. Soffermiamoci brevemente a riflettere su cosa sia la misura del tempo. Generalmente intendiamo per misura di tempo il numero di secondi (più in generale, le unità di tempo) che separano due avvenimenti.
Se dovessi misurare il tempo che separa diversi avvenimenti tra loro, avrei bisogno di un orologio, orologio che avanzerà di una unità di tempo come conseguenza di un avvenimento interno al meccanismo di funzionamento. Ad esempio un pendolo avanza di un secondo ogni volta che il battente fa scattare l’ingranaggio contenuto nell’orologio.
Questo quindi significa “misurare il tempo”: paragonare un certo avvenimento standard con altri avvenimenti più lunghi.
Se dico che un certo fatto mi ha preso venti secondi, significa che due avvenimenti “inizio” e “fine” di questo fatto sono separati tra loro da venti scatti di un ingranaggio.
È chiaro che paragonare tra loro due gruppi di avvenimenti per ottenerne una misura di tempo rischia di essere difficile se non riusciamo a definire una simultaneità. In mancanza di un termine di paragone classico, ripiegheremo sull’unico fatto certo e identico per tutti, la velocità della luce nel vuoto.
Un orologio di luce sarà allora un meccanismo di questo tipo:
un raggio di luce viene mandato a scontrarsi con uno specchio (blu) e ritorna al punto di partenza (in rosso). Nel momento in cui parte l’orologio indica lo zero. Nel momento in cui il raggio di luce torna al punto di partenza, l’orologio scatta in avanti di un’unità e indica 1. Un secondo specchio riflette la luce che parte per un secondo viaggio.
Questo metodo di misura risponde perfettamente ai requisiti abituali per un orologio, il cui avanzamento è indotto da un avvenimento, il raggio di luce che ritorna, e colpisce, ad esempio, una fotocellula. Per quanto possa essere difficile da realizzare tecnicamente (al tempo in cui fu proposto era impossibile) è perfettamente fattibile in teoria, ed è quello che chiameremo Gedankenexperiment, un esperimento del pensiero.
Immaginiamo ora di montare questo orologio di luce sulla barca e di studiarne il funzionamento. Avremo come consuetudine due osservatori, il primo sulla barca insieme all’orologio e il secondo sulla terra ferma intento ad osservare la barca.
Il percorso della luce visto da chi si trova sulla barca è mostrato nella figura 1, mentre quello visto da chi si trova a terra è mostrato nella figura 2.
L’osservatore sulla barca vede la luce oscillare dal basso in alto, ma l’uomo sulla banchina vede la luce formare dei triangoli, perché durante ogni spostamento dell’orologio, la barca ha percorso una certa distanza.
A questo punto ricordiamo il fatto centrale e fondamentale della relatività: la velocità della luce è la stessa per entrambi gli osservatori.
Dato che il percorso triangolare è più lungo di quello rettilineo, gli avvenimenti che fanno scattare l’avanzamento dell’orologio sono separati da un tempo maggiore per l’uomo a terra. L’orologio avanzerà quindi più lentamente dal suo punto di vista e la sua misura di tempo risulterà inferiore.
Questo fenomeno è noto come dilatazione del tempo.
È opportuno sottolineare che i due osservatori guardano lo stesso orologio, quindi lo stesso fenomeno e la stessa “realtà”; è il tempo che scorre diversamente per l’uno e per l’altro.
Se l’uomo sulla banchina avesse anche lui un secondo orologio di luce di fianco a se vedrebbe il proprio tempo avanzare alla velocità a cui l’uomo sulla barca vede avanzare l’orologio sulla barca. L’uomo sulla barca, considerandosi immobile attribuisce all’uomo sulla banchina una velocità identica (ma di opposta direzione) all’uomo sulla banchina. Quindi attribuirà all’orologio sulla banchina una dilatazione temporale identica a quella attribuita dall’uomo sulla banchina all’orologio che si trova sulla barca.
L’unica soluzione possibile è ammettere che il tempo non scorre nello stesso modo per tutti gli osservatori.
Analogamente possiamo misurare lo spazio. Immaginiamo una barra di una certa lunghezza, e un orologio di luce che misura il tempo. La lunghezza della barra sarà fornita dal prodotto della velocità della luce moltiplicata per il tempo che la luce impiega ad andare da un capo all’altro della barra.
Immaginiamo che il tempo indicato dall’orologio e letto dall’uomo sulla barca sia 6 secondi. Allora la lunghezza della barra risulterà 6c, 6 moltiplicato per la velocità della luce.
L’uomo sulla banchina, a causa della dilatazione del tempo, vedrà però l’orologio indicare un tempo inferiore, diciamo 4 secondi. La lunghezza della barra allora sarà 4c, una lunghezza inferiore a quella misurata dall’uomo sulla barca.
Questo fenomeno è noto come contrazione delle lunghezze.
Sono state fatte molte domande e avanzati molti dubbi sulla logica di questi due problemi.
In particolare sono stati avanzati dubbi sul significato di tempo; non è bene chiaro se il tempo biologico abbia qualcosa a che vedere con il tempo fisico o se risponda ad altri criteri.
Tuttavia è noto il caso del tempo di semivita del muone, una particella fortemente instabile che dovrebbe disintegrarsi (e lo fa in adeguate condizioni) in tempi brevissimi. Fatto strano, osserviamo muoni che attraversano l’atmosfera a velocità elevate e arrivano fino a noi, nonostante il loro tempo di vita sia troppo corto per permettergli di attraversare quella distanza.
La relatività prevede però che i muoni atmosferici, che hanno velocità elevatissima, subiscano una dilatazione del tempo che gli permette di superare indenni l’ostacolo. La relatività ristretta supera quindi un test sperimentale segnalandoci quantomeno di meritare di essere seriamente considerata.
Un secondo problema sollevato agli esordi della relatività, fu il famoso paradosso dei gemelli.
L’idea era la seguente: immaginiamo due gemelli identici, uno su di una nave interstellare e il secondo a terra. La nave viaggia a velocità elevate, quindi dal punto di vista del gemello a terra, il tempo scorre più lentamente sulla nave. Al ritorno sulla terra dovrebbe quindi incontrare un proprio gemello più giovane di parecchi anni.
Anche il gemello sulla nave può a rigore considerarsi fermo e vedere la terra che si allontana da lui a velocità identica a quella a cui il fratello vedeva la nave. Quindi dal suo punto di vista è il gemello sulla terra che dovrebbe invecchiare lentamente ed al ritorno della terra verso l’astronave sarà lui ad essere anziano, mentre il gemello sulla terra avrà parecchi anni in meno.
La situazione è paradossale in quanto al confronto solo uno dei due avrà effettivamente un’età maggiore, e quindi la descrizione risulta assurda, invalidando la relatività.
La risposta a questo paradosso è abbastanza sorprendente: il gemello sull’astronave per andare e tornare dovrebbe per forza subire una decelerazione, quindi accelerare nel senso opposto, violando un principio della relatività per cui i ragionamenti sono validi solo e soltanto a velocità costanti. Durante la decelerazione fatti innegabili hanno luogo (effetto della frenata, oggetti che cadono) il che oggettiva la situazione: uno solo dei gemelli subisce gli effetti e quindi uno solo ha davvero effettuato il viaggio.
Quel gemello sarà quindi più giovane, anche se è necessaria la relatività generale per confermarlo.
Il paradosso è quindi soltanto apparente.
L’aspetto più noto e divulgato della relatività generale è l’equivalenza tra massa ed energia.
Il calcolo che permette di dedurre questa elegante formula è piuttosto semplice, ma comunque ben oltre il livello di una divulgazione scientifica.
Proveremo quindi ad effettuare un ragionamento per nulla rigoroso.
Fino ad adesso abbiamo sempre discusso problemi connessi al moto della luce; sappiamo però che la fisica degli oggetti pesanti, risponde a leggi diverse. Ad esempio all’inizio si è parlato del fatto che lo scontro tra due automobili, una che viaggia a 100 Km/h e l’altra a 50 Km/h dà luogo ad un incidente più grave che non lo scontro tra la macchina e un muro.
L’affermazione che ci ha guidati fin cui era
-
La velocità della luce è costante, indipendentemente dalla velocità dell’osservatore e da quella della sorgente.
Affermazione che sappiamo sperimentalmente essere vera.
Una affermazione analoga
-
La velocità di una macchina è costante, indipendentemente dalla velocità dell’osservatore e da quella della macchina.
È chiaramente falsa. Dunque abbiamo due regimi di comportamento diverso per la macchina (con una massa) e per la luce (che invece di massa non ne ha).
D’altra parte possiamo effettuare alcuni ragionamenti che ci mostrano come non sia possibile superare, per un oggetto con una massa, la velocità della luce.
Immaginiamo ad esempio la nostra esperienza con la nave e gli specchi (qui).
Se la nave viaggiasse ad una velocità superiore a quella della luce (ipotesi per assurdo), l’uomo sulla nave vedrebbe come al solito la luce colpire simultaneamente i due bersagli. Invece dal punto di vista dell’uomo sulla banchina, la nave superebbe il segnale inviato in una direzione. Di conseguenza lo specchio sulla punta della nave non verrebbe mai colpito dal raggio luminoso.
Saremmo quindi in presenza di un’esperienza che fornisce due diversi risultati (e quindi fenomeni fisici); se sostituissimo ad esempio i due specchi con due cavie da laboratorio che vengono uccise dall’impatto della luce, sarebbe molto semplice controllare chi vive e chi muore arrivando inevitabilmente ad un paradosso.
Se la luce rappresenta quindi il caso di velocità limite ed un comportamento di un certo tipo, mentre gli oggetti che viaggiano lentamente ed hanno una massa sono di altro tipo e altro comportamento, possiamo aspettarci che accada qualcosa di anomalo se tentiamo di spingere un oggetto a velocità vicine a quella della luce.
Ricordiamo che l’energia può essere calcolata con la formula E = ½ m V2. L’energia quindi dipende dalla massa e dalla velocità.
Possiamo pensare di prendere un oggetto e cominciare a fornirgli delle piccole spinte, ognuna di energia uguale. Ogni volta che spingiamo l’energia aumenta di uguale quantità; ci aspetteremmo che anche la velocità aumenti in modo proporzionale.
Avvicinandosi alla velocità della luce però nulla ci impedisce di continuare a spingere. Cosa succede allora che eviti di superare i limiti imposti?
L’idea è che l’energia fornita, invece di aumentare la velocità, si riversi nella massa facendola aumentare. Questo è un modo piuttosto grossolano di pensare l’equivalenza.[1]
Le conseguenze sperimentali di questa scoperta sono enormi, basti pensare alla fisica nucleare, alla tecnologia dei reattori, alla fisica delle particelle. Oggi è solitamente accettata senza troppe difficoltà ed è la chiave di comprensione delle teorie del Big Bang.
L’idea rivoluzionaria è che per elevate velocità degli oggetti (o per elevate temperature, se pensiamo che la velocità media delle particelle di un oggetto rappresentano la sua temperatura) l’energia e la massa non sono più nozioni distinguibili.
[1] Più formalmente, dato che la massa si preferisce solitamente non toccarla, si introduce una nuova quantità “ad hoc” il cui valore è circa 1 per piccole velocità (E = ½ m V2 1 = ½ m V2) ma che comincia a crescere all’aumentare della velocità.
Questa seconda formulazione può essere approssimata sviluppando la quantità ad hoc e scrivendo l’energia come una somma infinita di contributi proporzionali alle potenze della velocità V0 V1 V2 V3… dove la velocità è un numero compreso tra zero e uno, uno rappresenta la velocità della luce.
Il contributo più importante è dato da V0 e fornisce la famosa formula di Einstein E = m c2.
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Commenti
Parte seconda!
Caffè e arrivo.
"Le conseguenze sperimentali di questa scoperta sono enormi, basti pensare alla fisica nucleare, alla tecnologia dei reattori, alla fisica delle particelle. Oggi è solitamente accettata senza troppe difficoltà ed è la chiave di comprensione delle teorie del Big Bang."
> Proverò a rileggere domani. Sarà la stanchezza o l'eccessiva impreparazione, ma mi sono un po' perso. Spero di poter contribuire con qualche commento adeguato. Altrimenti, grazie come sempre.
Eh, qui le cose si complicano anche per me... Il problema principale (di comprensione mia) è quello della velocità costante della luce, rispetto alle altre velocità rappresentate (macchina, nave, uomo ecc.).
"D?altra parte possiamo effettuare alcuni ragionamenti che ci mostrano come non sia possibile superare, per un oggetto con una massa, la velocità della luce."
Gli esempi ci sono ma non sono così facili (per chi con queste cose non ha dimestichezza) da immaginare...
Il punto più difficile è l'ultimo
"L?idea è che l?energia fornita, invece di aumentare la velocità, si riversi nella massa facendola aumentare. Questo è un modo piuttosto grossolano di pensare l?equivalenza"
Non ho capito perché non si può superare la velocità della luce. Perdona l'ignoranza, ma ricordo che uno dei problemi per i viaggi nello spazio è proprio questo: le distanze in anni-luce (e finalmente ho capito dal tuo discorso i concetti di dilatazione del tempo e contrazione delle lunghezze, per quanto non così ... quotidiani!!!) praticamente impossibili da percorrere.
Ma in teoria si può superare la velocità della luce?
Ecco, inatnto grazie! Tutto estremamente interessante e chiaro.
3> La velocità della luce costante è un postulato che abbiamo introdotto nella parte 1.
Non è "da capire", ma "da accettare" nel senso che è il risultato di una osservazione. Un equivalente di "la terra è rotonda". Non è da capire ma da accettare, dati e osservazioni alla mano.
Il problema della velocità della luce ha una formulazione molto semplice in matematica. Siccome non posso esibire un calcolo, ho provato a costruire un ragionamento strutturato così: immaginiamo per assurdo che un oggetto vada più veloce della luce. Ne deduco che una certa esperienza ha un risultato incompatibile con la logica. Quindi l'ipotesi è errata.
L'idea nel nostro caso era di far osservare a due persone che viaggiano a diverse velocità (una subluce e l'altra supraluce) un avvenimento,e dimostrare che l'avvenimento non solo ha luogo in momenti diversi, ma è anche diverso nei risultati. Dato che alla finedell'esperienza si può verificare questo risultato, uno dei due osservatori risulterebbe essere nel torto, avrebbe visto ad esempio una persona morire, mentre in realtà è viva. Contraddizione logica che invalida l'ipotesi di partenza.
In effetti gli esempi sono un po' serrati ed è difficile accertare per chi non abbia mai letto cose simili.
Illustri fatti incredibilmente nuovi e rivoluzionari, per chi non li ha mai incontrati, che con questa pacatezza e calma sembrano troppo eccezionali per essere veri :)
Che la luce abbia sempre la stessa velocità mica è istantaneo da raffigurare mentalmente, è contrario a ogni esperienza quotidiana.
E l'esempio dell'orologio a luce non l'avevo mai letto esattamente uguale, che integra e chiarisce con molta precisione il concetto ma forse non basta per convincere del tutto, i digiuni. Era meglio partire da esempi meno tecnici, credo.
Sui gemelli già ne avevi parlato e mi aveva scosso un po' il paradosso. Anche se l'universo fosse in qualche modo circolare, allora, la relatività sarebbe messa in discussione? Quale gemello vecchio? E' impossibile che l'universo sia circolare, secondo Einstein?
E poi il problema di dove andasse a finire l'energia nel moto di accelerazione di raggiungimento della luce, mica l'avevo mai associato all'aumento, noto, della massa. Si vede che come deduttività scientifica sono, conferme a iosa, deboluccio.
L'articolo è solerte e puntuale. Con qualche esempio forse un poco meno "da laboratorio" e più d'ambito quotidiano forse sarebbe stato più evidente nelle conclusioni. Devi ricordarti che per noi queste realtà, ormai patrimonio secolare, sono quasi del tutto misconosciute, lontane, decisamente incredibili. Mettici anche un po' di suspence che da queste parti non fa mai male, e non è affatto fuori luogo con queste rivelazioni eccezionali del metodo sperimentale sulla natura.
Detto questo rivolgo sempre stima robusta e curiosità per i tuoi studi, mai disillusi. Grazie ancora.
Ho integrato un articolo sulla componente sperimentale della RR. Spero serva a chiarire.
L'universo come oggetto "circolare", una sfera o come avevi detto tempo fa un toro (ho controllato ed esistono davvero modelli toroidali) è un ipotesi comatibile con la relatività generale.
Per dare curvatura all'universo a livello globale occorre la teoria completa della relatività, includente la gravità; a queste condizioni può avere senso un universo sferico ad esempio.
Non si verifica nessuna contraddizione per due motivi; primo la teoria ristretta non può più essere applicata a livello cosmologico, e non rappresenta quindi un problema. Rifacendo i calcoli con la GR il paradosso dovrebbe sparire.
Secondo se anche un raggio di luce dovesse percorrere il giro dell'universo per riotrnare al mittente, non dimenticarti che l'universo nel frattempo è in espansione (il raggio di luce ü un tratto di penna e l'universo un palloncino che si gonfia).Non è escluso che anche nel caso dell'universo palloncino, la velocità della luce, limite invalicabile sia troppo piccola per finire mai di percorrere il palloncino. L'universo potrebbe guadagnare taglia più velocemente di quanto la luce possa mai andare.
(Comunque congetture)
Se non l'hai notato ti consiglio la lettura del libro di Bramé che ho recensito due settimane fa. Ti piacerà.
Ok a volte un po' serrato ma molto comprensibile per chi come me abbia il cervello formattato in versione scienza.
Una buona carta da visita per i neofiti che cercano qualcosa sulla relatività...
Grazie Thomas, nonostante il mal di testa.
Ma se inventassimo un astronave che viaggia nello spazio a 150.000 km/s e la facessimo partire contemporaneamente ad un raggio di luce da un punto ?A?, dovrebbe in teoria impiegare il doppio del tempo per raggiungere il punto ?B? rispetto al raggio di luce, giusto? Ma se cosi fosse la velocità della luce ne non è la stessa per il signor Rossi rimasto ad osservatore nel punto ?A? e per il pilota dell?astronave. Cos?è dunque che mi sfugge?
(ave Zingaro! Siamo sempre in attesa della tua presentazione. Qualche nota biografica, link al tuo sito, tutto quello che preferisci. Sempre via "amministra sito". Grazie)
9> Procedendo con rigore: A osserva dall'astronave il raggio di luce, B invece dalla terra ferma. Fissiamo un avvenimento "C" il raggio di luce colpisce uno specchio a una certa distanza.
Effettivamente per A nel tempo in cui la luce colpisce l'oggetto B ha percorso mezza distanza.
Per B invece la luce ha comunque la stessa velocità che per A, quindi colpisce lo specchio dopo un certo tempo, identico a quello di A.
In quel lasso temporale B vede A allontanarsi in direzione opposta al raggio di luce e percorrere la metà della distanza percorsa dalla luce.
La velocità della luce identica per ogni osservatore è un postulato, ottenuto in modo empirico, come spiegato nell'articolo sull'interferometro di Michelson. Dal postulato è possibile ricavare la dinamica degli altri oggetti.