Introduzione: Questo testo, originariamente apparso nel forum di Lankelot.com, è nelle mie intenzioni un’introduzione alla teoria dei numeri e più in generale al modo di ragionare proprio della matematica. In seguito agli inclementi commenti (sempre apperazzati) sulla sua inacessibilità è stato interamente rivisto e ritoccato. O inoltre aggiunto alcuni approfondimenti.

 

Perché teoria dei numeri? O meglio cosa significa teoria dei numeri? I numeri non sono già di per se una teoria?

Lo sono certo, ma solo in parte. Esiste un’intuizione “naturale” dei numeri.

Inoltre i numeri hanno avuto già dall’antichità contenuti non solo teorici e utilitaristi. Ricordiamoci i pitagorici ad esempio che vi vedevano qualcosa di più grande, al punto di parlare di divinità, di perfezione o di estetica del numero.

Quale grado di astrazione dunque? Non più astratto di una poesia, anzi molto meno. Concorderete che l’intuizione per scrivere un bel poema (ad esempio: la nebbia agl’irti colli piovviginando sale…) richiede un notevole grado di astrazione (la nebbia che sale ai colli, quasi fosse consapevole ed il mare sotto che urla sono figure umane, palpabili, l’esempio classico del poemetto che si studia alle elementari e non si capisce per mancanza di capacità di astrazione).

 

La costruzione del concetto “astratto” di numero avviene (storicamente ma anche da un punto di vista di apprendimento) per gradi. Nei bambini la nozione di numero comincia ad essere chiara solo dopo alcuni anni di vita. In seguito nasce l’idea di zero (un concetto estremamente complesso), seguono i numeri frazionari, le proporzioni, le radici...

Se la scoperta delle frazioni è avvenuta abbastanza presto con lo sviluppo del commercio e la necessità di una moneta, quella di numero “irrazionale” (le radici ad esempio) avviene più tardi e resta di difficile comprensione anche per gli ottimi matematici greci, o più recentemente per gli ottimi lettori di lankelot.

La prima e più ovvia nozione di numero è questa:

 

Quante stanghette sono?

I I I

 

(tre)

 

È una nozione istintiva, non necessita di contare. Alcuni riescono a visualizzare d’impulso fino a sette e più elementi in questo modo. Proviamo:

 

I I I I I

I I I I I I I I

I

I I I I I I I I I I I I

 

“Vedere” tre o cinque o sette (io vedo bene fino a cinque) non è un concetto astratto, ma piuttosto una costruzione istintiva del numero. Il passaggio a quantità più grandi si fa per accumulo di questa nozione istintiva.

Ad esempio numerose tribu di pellirosse contano per gruppetti di tre, di quattro o di cinque.

Più comune tra tutte è la scelta del numero dieci, difficile da vedere in modo intuitivo ma facile da manipolare a causa delle dieci dita.

Il numero su cui si basa la conta degli oggetti (ad esempio per noi il dieci) è detto base (da non confondere con la nozione di base in algebra lineare). Sono noti casi di scelte davvero originali, la base venti tra i Maia ad esempio (venti dita tra mani e piedi) e quella sessanta tra i mesopotamici, che presenta enormi vantaggi tecnici (molti “trucchi” possibili nei calcoli dovuti ai numerosissimi divisori di sessanta).

 

Dunque il numero non è poi così astratto, anzi è una nozione abbastanza naturale. Naturali sono infatti detti i numeri interi superiori a zero. Sono i numeri di “facile” comprensione (per modo di dire) che usiamo nella quotidianità e che fanno parte degli studi obbligatori.

 

La loro struttura apparentemente semplice, nasconde proprietà interessanti. Ad esempio i numeri primi (quelli che possono essere divisi solo per uno e per se stesso come 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …) sono ancora materia di studio oggi.

 

Ecco quindi il nostro primo esempio di un soggetto di teoria dei numeri. I numeri primi, spesso bistrattati e tacciati di inutilità sono alla base della teoria dei k-corpi (non è un film di fantascienza) su cui si fonda il criptaggio a chiave pubblica.

Cosa sono i k-corpi?

Sono corpi ciclici. Un corpo è un tipo di struttura matematica (come i gruppi, gli anelli, le algebre...), in sostanza un insieme di numeri e di operazioni possibili che presentano una classe di proprietà particolari.

Un esempio di insieme ciclico sono le ore del giorno. 1,2,3,…22, 23, con la regola appunto ciclica che impone 0=24 1=25 eccetera. Ogni ventiquattro ore si ritorna a zero. Se sono le 19:00 e vi chiedessi che ore saranno tra  sei ore direste 19+6 =25=1, dunque 1:00 del mattino.

Perché un insieme ciclico sia anche un corpo è necessario che lo zero sia un numero primo. Ad esempio nel caso delle ore 24=0 non è un numero primo, dunque non è un k-corpo.

 

I k-corpi sono fondamentali per il criptaggio a chiave pubblica che permette ai vostri files di viaggiare in tutta la rete senza essere letti da chiunque.

Vi parlerò con maggiori dettagli dei k-corpi prossimamente. È un capitolo interessante che potrei trattare in calce alla teoria dell’informazione, tecnicamente difficile ma accattivante.

Per ora basti sapere che più lo zero del k-corpo è grande più è difficile decriptare un codice. Dunque ecco spiegato perché ci sono persone che “cacciano” numeri primi come professione.

Ovviamente la ricerca di un numero primo non si riduce a controllarli uno dopo l’altro. Si cercano “regole” di distribuzione, algoritmi di costruzione, teoremi...

Esiste ad esempio una congettura che dice che solo numeri del tipo 2x2x2x2x2x....x2-1 possono essere primi a partire da una certa grandezza. Al momento però non è stata trovata nessuna dimostrazione.

 

Per continuare vorrei illsutrarvi una piccola (e semplice) dimostrazione, utile a capire come si ragiona in matematica:

 

-         Quanti numeri naturali esistono? Infiniti.

-         Quanti numeri primi? Infiniti.

 

Prova: Prendiamo una lista di numeri primi. Chiamiamoli p1, p2, p3, ...p10. Moltiplichiamoli tra loro. Aggiungiamo uno. Il risultato è p1 x p2 x ... x p10 +1

Due casi possono presentarsi

1)      È un numero primo

2)      È un numero che è divisibile per un numero primo che non si trova nella lista iniziale (cioè p11 diverso da p1, p2, ..., p10)

 

Abbiamo dunque un algoritmo (un programma se preferite) in grado di creare infiniti numeri primi.

Per trovare un nuovo primo basta ricominciare usando la lista maggiorata, da p1, p2, ..., fino a p11.

Ecco dunque un modo di generare infiniti numeri primi, il che conclude la prova.

 

E adesso passiamo alle cose serie: i numeri frazionari (quelli cioè che possono essere scritti come una frazione). Quanti sono? Infiniti. Ovvio dato che possono essere scritti come coppie di numeri naturali (ad esempio un quarto si scrive (1,4)).

 

Eistono poi i famosi numeri che abbiamo chiamato radici.

Sono numeri ottenuti risolvendo problemi di questo tipo: se un cubo di ghiaccio ha un volume di 2 centimetri cubi, quanto misura il lato del cubo? La soluzione è un’equazione del tipo lato x lato x lato = 2. Questi numeri in generale non possono essere espressi come una frazione. Una dimostazione esiste fin dai tempi di Pitagora. Quanti numeri esistono di questo tipo? Infiniti.

 

E ce ne sono altri, ancora diversi. Ad esempio 0.101001000100001000001… non è una frazione e non è nemmeno una radice.

 

E Pi greco= 3.14159… la proporzione tra il perimetro del cerchio e il diametro non è nemmeno del tipo sopra citato.

Pi greco è speciale… infatti potete scegliere qualsiasi successione finita di numeri ed essa sarà sicuramente contenuta da qualche parte nei decimali di Pi Greco.

Dato che qualsiasi alfabeto può essere criptato numericamente Pi Greco contiene tutta l’informazione possibile (nel senso di scrivibile). Per questo a volte i matematici si divertono a dirvi che qualsiasi poesia o romanzo è contenuta in Pi Greco.

Potremmo provare a criptare Dino Campana in binario e andare a vedere a che punto della successione si trova… o se volete la vostra frase preferita con cui imbarcate sempre o i discorsi del Duce o l’opera omnia di Cicerone. Ci sono proprio tutte. Questo tipo di numero si chiama trascendente.

 

E quanti numeri irrazionali che non sono radici esistono? Quanti numeri trascendenti? Infiniti.

 

Una domanda che si pone naturalmente è: ma allora esistono lo stesso numero di numero interi che frazionari che primi, trascendenti, irrazionali…

La risposta è No. Esistono ad esempio molti più numeri trascendenti che naturali.

Ma come si può contare un insieme che ha infiniti elementi? (Si conta molto a lungo… )

 

Scherzo. Eccovi un modo. Si paragona tutto con i numeri naturali (è una scelta abbastanza… naturale). Se è possibile collegare con una freccia tutti i numeri naturali con quelli di un altro insieme, quest’ultimo è detto denombrabile.

Ad esempio: i numeri interi (interi sono sia positivi che negativi che zero) sono denonmbrabili. E sufficiente metterli in relazione con i naturali tirando una freccia:

 

0 -> 0

1 -> 1

2 -> -1

3 -> 2

4 -> -2

…

 

dunque posso “contare” tutti i numeri interi dandogli un ordine logico di successione. Il loro “infinito” ha tanti elementi quanti ne ha l’infinito dei naturali. Idem per i numeri pari, i numeri primi, i dispari, i multipli di tredici, la successione di Fibonacci, il triangolo di Tartaglia,…

 

Anche i numeri frazionari possono essere “contati” in questo modo Come? Dandogli un ordine di sucessione logico, ad esempio questo:

 

si conta in diagonale cioè 1,1 è la prima coppia, 2,1 la seconda 1,2 la terza 1,3 la quarta 2,2 la quinta 3,1 la sesta 4,1 la settima e si scende di nuovo in diagonale fino a 1,4 1,5 e di nuovo a salire.

In questo modo si possono “ordinare” tutte le coppie ed abbiamo la nostra dimostrazione.

 

Ne esiste una analoga per le radici.

Non è possibile però per i numeri in generale. Un intervallo ad esempio compreso tra 2 e 3 contiene molti più numeri che non tutte le frazioni esistenti.

Curioso vero? Diventa ancora più inquietante se si pensa che tra due e tre esistono infinite frazioni. E non è tutto. Si può dimostrare che tra due numeri frazionari qualunque, esiste sempre un numero irrazionale (e fin qui tutto bene) ma è vero anche il contrario! Tra due numeri irrazionali qualunque esiste sempre un frazionario non importa quanto vicini essi.

E ancora: esistono per ora gli insiemi denombrabili (che possono essere contati) e quelli reali (che formano gli oggetti di natura come rette piani e volumi). Ma esiste un insieme intermedio? Uno che non può essere contato ma che non è nemmeno mostruosamente denso? Eccovi un’idea del famoso matematico Cantor che tentò molto a lungo di rispndere a questa domanda:

 

Prendete un segmento

 

________________________________________________

 

dividetelo in tre parti e cancellate il centro

 

________________                                ________________

 

ripetete l’operazione per ognuno dei pezzetti ottenuti

 

_____            _____                                 ______         ______

 

e continuate… all’infinito!

 

Cosa resta? Poco, sicuramente. Resta quello che si chiama in gergo un frattale, una figura che è sempre identica, qualunque ingrandimento si prenda

 

Cantor credette molto a lungo di aver trovato l’insieme cercato, ma alla fine dovette ammettere che non è così. Questo frattale è un insieme con la stessa desnità dei numeri reali.

Solo molto più tardi fu dimostrato che è possibile rispondere alla domanda “esiste un insieme intermedio tra reali e denombrabili?” sia dicendo Si, sia dicendo No.

Ne nascono due matematiche leggermente diverse, ma che portano sempre agli stessi risultati. Alcuni potrebbero dire che esistono questioni matematiche che non hanno risposta all’interno della stessa matematica.

E a volte rispondendo a una domanda si finisce per scoprire qualcosa di totalmente diverso. La magia della ricerca.

 

(Morale della favola: tutti gli infiniti sono uguali, ma alcuni sono più uguali degli altri.)