Sulla questione dell'ergodicità non ne sapevo assolutamente nulla. Quello che scrivi in quest'articolo mi lascia stupefatto, un approccio allo studio del determinismo che mi era completamente oscuro. Ho bisogno di un po' di tempo per rifletterci; dico già che alcuni punti pongono in essere delle domande sulle quali chiederò maggiore spiegazione. Per ora rileggo e provo a maneggiare tutti i copiosi concetti con migliore dimestichezza. Grazie infinite per il tema, mi sta a cuore da tempo e lo sai ;)

Allora, quindi infinitamente piccolo, infinitamente impreciso agli occhi dell'osservatore onniscente. Cosa sai dirmi, al di là della teoria matematica, nella misurazione pratica ad opera di un immaginario demone, su dimensioni inferiori alla distanza di Planck? Questa non potrebbe essere il limite? Qui la pallina non potrebbe passare nello stesso punto (non dico solo matematicamente, ma concretamente ai fini di una misurazione della dinamica futura o passata della pallina)?.

Da quanto sappiamo è necessaria una precisione ASSOLUTA dei dati differenziali, poniamo nel presente, per poter prevedere futuro e risalire al passato: questa infinita imperfezione di conoscenza precisa del punto di fase, quindi, con l'aumentare della distanza temporale si discosta decisamente anche da un calcolo probabilistico approssimativo (e questo comporta un'impossibilità definitiva di risalire ai dati di partenza)? E poi: che so, dopo tot tempo l'intervallo di previsioni possibili può diventare infinito, oppure esiste sempre un limite probabilistico dell'intero intervallo dei futuri o passati punti di fase dell'oggetto?

La realtà o meno del determinismo dipende dalla caratteristica strutturale dello spazio... e se ci fosse una diade onda-puntiforme come con le particelle particolarmente piccole? Non parliamo di dimensioni quantistiche? Cosa comporterebbe la convivenza contemporanea di lunghezza d'onda e puntiforme come frazionamento ultimo dello spazio (è del tutto strampalato come parallelo?), riguardo al determinismo?
Identità onda può essere paragonata a intervallo sempre suddivisibile, infinitamente frammentabile?

Ma l'età del nostro universo non è infinita; esiste da un tempo finito: la pallina (le particelle) anche se hanno possibilità dinamica con misurazioni infinitamente imprecise, avrebbero bisogno per un infinitezza delle posizioni spaziali di un tempo infinito: ma un onniscente demone non potrebbe comunque, ad oggi, risalire a dinamiche in un tempo finito e finiti punti di fase (i "rimbalzi" della pallina non sono infiniti partendo dall'inizio dell'universo, sono di un numero finito, perciò anche gli spazi attraversati da suo punto d'appoggio, quindi anche in teoria è possibile risalire a precisioni di punti di fase non più infinite ma definite, per quanto infinitesimali? Nel futuro ciò si complica, ma il detrminismo non rimane intatto entro certi limiti?

Insomma, anche se i rimbalzi si "spalmano" in punti di fase sempre più piccoli e necessitanti di maggiore precisione per una loro definizione perfetta, questo è un procedere che varrebbe ai fini teorici in prospettiva di una previsione di futuro o passato infinito. Però se l'onniscente demone vuole sapere il punto di fase della pallina dopo vent'anni, questa non ha fatto rimbalzi infiniti, né ha attraversato infiniti punti di fase; perciò il problema non si pone, nel senso che, sia in uno spazio puntiforme che in uno a intervallo sempre suddivisibile, questa distanza ha una suddivisione in un numero finito, di precisione microscopica, perciò risalibile nell'ipotesi della conoscenza dei dati precisi da parte di un'eventuale onniscenza.
Nel caso, invece, di uno spazio puntiforme la pallina prima o poi ripassa per lo stesso punto: perché la suddivisione ad un certo momento non ha più luogo, quindi passa sul punto di fase già attraversato.
E adesso ti chiedo: l'infinitezza delle posizioni progressive possibili, in quest'ultimo caso, non ci riguarda più: perciò, come l'ergodicità distrugge il determinismo? Illuminami su quello che sbaglio e sui tasselli che mi mancano per capire esattamente; è una supplica ;)

"Allora, quindi infinitamente piccolo, infinitamente impreciso agli occhi dell?osservatore onniscente. Cosa sai dirmi, al di là della teoria matematica, nella misurazione pratica ad opera di un immaginario demone, su dimensioni inferiori alla distanza di Planck? Questa non potrebbe essere il limite? Qui la pallina non potrebbe passare nello stesso punto (non dico solo matematicamente, ma concretamente ai fini di una misurazione della dinamica futura o passata della pallina)?."

Tu qui pensi alla meccanica quantistica. Attenzione! Un sistema ergodico è puramente classico, come lo è la nozione di una posizione puntuale. Esistono esperimenti che hanno evidenziato come la posizione di una particella possa essere un intervallo (anche molto più grande della distanza di Planck) e non un punto.
L'esperienza è uno dei pilastri della quantistica moderna.
Misurare per altro è un verbo dal significato dubbio. Esiste una teoria della misura che non conosco bene e su cui non mi soffermo. So che alle dimensioni tipiche della MQ il problema di definire una posizione si fa drammatico.

"La realtà o meno del determinismo dipende dalla caratteristica strutturale dello spazio? e se ci fosse una diade onda-puntiforme come con le particelle particolarmente piccole? Non parliamo di dimensioni quantistiche? Cosa comporterebbe la convivenza contemporanea di lunghezza d?onda e puntiforme come frazionamento ultimo dello spazio (è del tutto strampalato come parallelo?), riguardo al determinismo?
Identità onda può essere paragonata a intervallo sempre suddivisibile, infinitamente frammentabile?"

Qui ci sono due idee distinte: una è lo spazio matematico, infinitamente divisibile e stupendamente astratto. L'altra è lo spazio fisico, con una struttura probabilmente diversa. Un'onda è diversa da una particella per il modo di propagarsi. La posizione di un'onda però è definita e definibile nei termini di ogni altra posizione. È puntuale oppure non lo è, e questo dipende dalla natura dello spazio fisico. Almeno così mi sembra di capire.

"Insomma, anche se i rimbalzi si ?spalmano? in punti di fase sempre più piccoli e necessitanti di maggiore precisione per una loro definizione perfetta, questo è un procedere che varrebbe ai fini teorici in prospettiva di una previsione di futuro o passato infinito. Però se l?onniscente demone vuole sapere il punto di fase della pallina dopo vent?anni, questa non ha fatto rimbalzi infiniti, né ha attraversato infiniti punti di fase; perciò il problema non si pone, nel senso che, sia in uno spazio puntiforme che in uno a intervallo sempre suddivisibile, questa distanza ha una suddivisione in un numero finito, di precisione microscopica, perciò risalibile nell?ipotesi della conoscenza dei dati precisi da parte di un?eventuale onniscenza.
Nel caso, invece, di uno spazio puntiforme la pallina prima o poi ripassa per lo stesso punto: perché la suddivisione ad un certo momento non ha più luogo, quindi passa sul punto di fase già attraversato.
E adesso ti chiedo: l?infinitezza delle posizioni progressive possibili, in quest?ultimo caso, non ci riguarda più: perciò, come l?ergodicità distrugge il determinismo? Illuminami su quello che sbaglio e sui tasselli che mi mancano per capire esattamente; è una supplica ;) "

Forse mi sono spiegato male: nel caso in cui pensiamo lo spazio come "puntiforme" la pallina non ripassa MAI dallo stesso punto con la stessa velocità. Questa sarebbe una traiettoria periodica.
La pallina ripassa da un punto vicino a piacere rispetto a quello che hai scelto, ma non dallo stesso. È questo a distruggere il determinismo. Il demone sceglie un intervallo o un punto di partenza? Se seglie un punto, siamo deterministi. Se sceglie un intervallo piccolo a piacere, tu non hai che da dirgli che da quell'intervallo passano un numero di traiettorie grande a piacere, qualsiasi sia la dimensione dell'intervallo scelto.

Lo spazio puntiforme è uno spazio che non ha un unità prima; ogni intervallo è divisibile in due parti e ognuna di quelle parti contiene infiniti punti.
Quello a cui pensi credo sia la discretizzazione dello spazio, il processo con il quale il computer divide lo spazio in elemnti di grandezza minima, oltre il quale non esiste nulla di sensato per la sua comprensione. In tal caso ovviamente qualsiasi traiettoria è periosica, dato che esistono un numero finito di coordinate possibili.

Abbiamo tre casi: uno è quello del calcolo al computer, per il quale qualsiasi sistema troppo complesso è incalcolabile, dunque non deterministico.
Uno è quello in cui posso affermare che il centro della terra si trova alle corrdinate (3,1,1), coordinate che esistono in se. In questo caso abbiamo determinismo.
Il terzo è il caso in cui posso affermare che la terra si trova alle coordinate (3,1,1) con un margine di errore che non è dovuto alla mia incapacità di essere preciso ma alla natura dello spazio. Gli oggetti occupano un luogo, non un punto, La posizione di un oggetto è sempre un luogo, un insieme infinito di punti.
In questo terzo caso, in un luogo piccolo a piacere passano infinite traiettorie possibili. Ergo disponendo della misura "durante il periodo XXX la pallina da biliardo si trova nel luogo YYY ne deduco che la pallina stà seguendo la traiettoria ZZZ" dove ZZZ è un fascio di traiettorie infinito. In un tempo caratteristico del problema, ognuna di queste traiettorie si rivelerà essere diversa, ma al momento della misura non è possibile distinguerle una dall'altra, dunque anche un DIo, capace di misura "precisa quanto vuole", è costretto a sottostare alla natura della posizione-intervallo e non conosce il futuro.

Prova così: costruisci la traiettoria di un oggetto semplice, come un piabeta che gira intorno a una stella. Si tratta di un oggetto che si sposta lungo un cerchio (elisse, ma approssimiamo). Se sposto il centro del pianeta, la traiettoria-cerchio si sposta con lui. Uno spostamento di un centimetro ad esempio della posizione iniziale verso destra fa scivolare di un centimetro tutta la traiettoria.
Adesso pensa di essere in grado di misurare con tanta precisione quanta ne vuoi la posizione del centro del pianeta. "Tanto quanto vuoi" significa che il centro si trova in luogo piccolo a piacere, ma pur sempre un luogo, dunque un insieme infinito di punti.
Ora per effettuare calcoli dobbiamo scegliere un solo punto, uno solo di quell'insieme infinito e piccolissimo in cui abbiamo localizzato il centro del pianeta. La traiettoria sarà l'evoluzione che le tue equazioni differenziali predicono per il centro del pianeta, un cerchio. Se scegli un diverso punto,sempre nel luogo in cui si trova il centro del pianeta, otterrai una seconda traiettoria, molto simile e molto vicina alla prima. Se rifai tutto questo per un buon numero di punti contigui otterrai un fascio di traiettorie.
Dato che tutte le traiettorie sono simili (così simili da essere indistinguibili) tu concludi che "dato il luogo in cui si trova il centro del pianeta e le equazioni differenziali" conosci il futuro del pianeta ed il suo passato.

Bene, forse adesso ci siamo. Quello che mancava era la focalizzazione del centro della pallina come determinante fondamentale delle traiettorie future. E' la eventuale inesistenza di conoscenza di un centro esatto della pallina che, nel lungo periodo, può rendere discordanti traiettorie nel breve facilmente calcolabili. Rimane ancora il fatto che il tempo futuro potrebbe non essere infinito; nel qual caso, avendo un probabile inizio Big Bang e una probabile fine (magari per collasso) del moto nell'universo, la precisione del calcolo non sarà mai infinita ma, per quanto spinta al limite, finita. Quindi il demone potrebbe calcolare in un tempo finito se conoscesse la precisione iniziale necessaria alla conoscenza del termine ultimo del moto della traiettoria. Se, per esempio, sapesse che al fine del moto della pallina ci sarà grado di decimali X, potrebbe calcolare già da adesso un determinismo perfetto. Anche se, in effetti, senza questa clausola, il determinismo diventa una questione labilmente approssimativa, con margini d'errore che aumentano col progredire temporale del punto di fase futuro da rilevare. Credo di aver capito. Se no, credo la mia modestia non sia più sincera che in questo caso, se sì, grazie infinite per i nervi saldi. So che non è facile illuminare percorsi ad una persona metodologicamente bendata.

Perfetto. Se permetti un consiglio sarebbe funzionale aggiungere all'articolo l'elemento del centro della pallina come asse del discorso. Ho riletto e mi sembra che questa piccola correzione migliorerebbe e accelererebbe i passaggi mentali alla comprensione. Il prossimo appuntamento l'hai disposto tu stesso: quantistica e determinismo, altra bellissima questione. La mia autostima su questi e molti altri temi è sul filo del rasoio. Certe volte ho parte di pensieri che mi suggeriscono la natura fastidiosa dei limiti, e l'attrazione per l'ebrezza del superarli ;) Ma la norma è una ingombrante superbia timida. Non saprei spiegare meglio.

No.

Un "fascio di traiettorie" non diverge in modo ordinato, non si allontanano con qualche proporzionalità. Sparano via a caso.
Prova a disegnarne due vicine un mezzo centimetro nel biliardo e te ne accorgi subito.
(Ci si vede a Losanna fratellino, arrivo domenica!)

Ma questa è notizia fenomenale!!! Migliori auguri, sarai brillante questa volta ancora di più!

Teoria delle catastrofi... benissimo, dacci dentro con la solita abilità ;)

Amici: ho corretto l'erroraccio per cui mi scuso ancora. Non compromette il corpo dell'articolo ma mi disturba assai scrivere cose che si rivelano sbagliate, soprattutto vista la fiducia di cui mi fate sempre oggetto e che mi lusinga molto.
Ci tengo a dirvi che la ragione principale é legata al fatto che nello scrivere questo pezzo avevo in testa alcune idee di un filosofo di inizio novecento, si chiama Whitehead, che non volevo citare perché non è davvero necessario alla comprensione del soggetto, cui parliamo di matematica, ma che mi ha spinto a commettere diverse imprecisioni.
Proverò a scusarmi recensendo Whitehead prossimamente.
Grazie ancora a tutti i miei lettori
T