Ho voluto proporre qui, in qualche riga e immagine, alcune curiosità di geometria. Non si tratta di un vero articolo di divulgazione; piuttosto di un corollario di curiosità all'articolo cosmogonia e alle domande che ne sono venute. Non ha un ordine, non ha organicità. Non è un trattato. È un bestiario, regno di immaginazione e curiosità.

Geometria sferica

La geometria di una sfera vive unicamente sulla sua superficie. Come il piano, la superficie della sfera ha due dimensioni, servono soltanto due coordinate per localizzare un punto.

La sfera ha due poli (nord e sud) e un equatore. La sezione di una sfera incide sulla superficie un arco di cerchio; se la sezione passa per il centro della sfera, si tratterà in particolare di un arco di grande cerchio, un cerchio della dimensione massima possibile, uguale all'equatore.

Le curiosità di una geometria costruita su di una sfera sono molteplici. Pensiamo ad esempio ad un cerchio costruito sulla sfera, come nella figura.

In rosso vediamo disegnato un cerchio. In blu, il raggio del cerchio, il centro del cerchio è un puntino rosso. Ci accorgiamo che la circonferenza di un cerchio in una gometria sferica è più piccola rispetto a quella di una geometria piatta (euclidea).

Più intrigante ancora è la costruzione di un triangolo; ne vediamo uno nella figura.

Come per i triangoli abituali ha tre lati e tre angoli. Tuttavia ampliamo il nostro triangolo in questo modo: partiamo dal polo nord, scendiamo fino all'equatore e seguiamo la linea dell'equatore per mezza circoneferenza. Ora risaliamo al polo nord. Abbiamo costruito un triangolo, ma questa volta ha soltanto due lati. Il segmento che dal polo nord va all'equatore e quello che dall'equatore torna al polo nord sono fusi in unico tratto; la figura ottenuta si chiama triangolo degenerato.

Geometrie strapazzate

Alcune nozioni in geometria ci sono sempre sembrate scontate.Ad esempio tutti noi abbiamo chiara la nozione di "dentro" e "fuori" in una figura tridimensionale.

"Dentro" una figura si trova il suo volume, se passiamo attraverso la superficie ci troviamo "fuori". È ad esempio il caso di un cilindretto.

Tuttavia potreste trovarvi in difficoltà con la vostra intuizione se vi proponessi questo cilindretto!

Si chiama nastro di Moebius (come il famoso personaggio di "I fisici" di Dürrenmatt) ed è piuttosto imbarazzante quando si studia geometria.

Se non foste ancora convinti dell'aleatorietà di "dentro" e "fuori" provate a costruire questo oggetto: immaginate una bottiglia di vetro. Ora allungate il collo della bottiglia e piegatelo. Fatelo passare attraverso il corpo della bottiglia e fatelo uscire dall'altro lato. Se entrate in questa bottiglia e percorrete un tratto del collo vi troverete in una situazione insolita. Attraversando il vetro della bottiglia vi troverete sempre al suo interno.

Questa figura si chiama bottiglia di Klein, ed è rappresentata nella figura sottostante.

Geometrie stravolte popolano le moderne teorie di fisica, in particolare relatività (geometrie sferiche e iperboliche) ma anche meccanica quantistica (ipermetriche); hanno dato linfa anche all'arte (Escher) e alla letteratura (Lovecraft).