La meccanica di Newton permette di trattare il movimento di oggetti nello spazio. Lo fa supponendo che gli oggetti-base, le entità elementari siano particelle puntuali, la cui unica proprietà è la posizione.

Conseguentemente, specificare il tipo di particella considerata e la rispettiva posizione, per ogni particella di un sistema dato, corrisponde a una descrizione completa ed esaustiva del sistema in questione.

La meccanica di Newton è fondamentalmente

-         deterministica

-         simmetrica rispetto al tempo

 

La simmetria rispetto al tempo è definita con il significato seguente: se riavvolgo il “film” degli avvenimenti di un dato sistema, se cioè prendo una serie di fotografie F1, F2, F3, …, Fn e le guardo nell’ordine cronologico inverso, Fn, …, F3, F2, F1, invertendo le velocità di ogni particella, il film ottenuto è coerente con le leggi di Newton, corrisponde cioè a un’immagine in accordo con le leggi della fisica.

 

In generale, una teoria fisica deve avere due proprietà per poter essere descritta in modo completo:

-         deve essere istantanea, deve cioè esserci un’indipendenza logica tra due istanti qualunque della nostra descrizione

-         deve essere completa, deve cioè essere possibile descrivere tutti i fatti rilevanti con la descrizione temporale completa

 

I processi irreversibili, quelli cioè che presentano una freccia del tempo, che ci appaiono diversi se guardati nell’ordine passato -> futuro oppure futuro -> passato, sono generalmente processi termodinamici. I due esempi standard di irreversibilità sono i postulati di Kelvin e di Clausius

 

Kelvin: non è possibile trasformare, quale unico risultato di una trasformazione termodinamica, del calore in lavoro

 

Clausius: non è possibile trasferire spontaneamente del calore da una fonte fredda a una fonte calda.

 

I due postulati sono da considerare con cautela: ad esempio è certamente possibile trasferire calore da una fonte fredda a una calda, e precisamente ciò avviene ogni qual volta qualcuno fa funzionare un frigorifero, ma la trasformazione si paga al prezzo di una certa quantità di lavoro, via la corrente elettrica. Ed è certamente possibile trasformare del calore in lavoro, (locomotiva!) ma nel processo avviene anche uno spostamento di calore da una fonte calda a una fredda, e non abbiamo quindi una conversione integrale, ma solo parziale, di calore in lavoro.

 

I due postulati sono anche equivalenti: pensiamo ad esempio ad una macchina che funzioni violando il principio di Kelvin, ad esempio un camion che si mette in moto estraendo calore dalla strada.

Niente impedirebbe a quel camion di andare a schiacciare un pistone contenente gas caldo, più caldo della strada. E il risultato complessivo sarebbe trasporto di calore dalla fonte fredda (la strada) alla fonte calda (il gas nel pistone), in contraddizione con l’enunciato di Clausius.

 

 

 

In generale, descriviamo una situazione termodinamica, come l’equivalente di un gruppo di sottoinsiemi microscopici, un insieme di molecole, le cui proprietà complessive danno vita a un sistema.

Ad esempio l’energia media per particella di un gas (quindi la velocità media se il gas è omogeneo) corrisponde alla temperatura. Ovviamente possiamo ottenere moltissime combinazioni di velocità, diverse particella per particella, tutte che equivalgono alla stessa temperatura macroscopica.

Lo spostamento delle particelle è aleatorio, ma è chiaro che se un gas è caldo, la media delle sue velocità è grande. Quando entra in contatto con un gas freddo, ci saranno globalmente particelle veloci che si spostano verso la fonte fredda, e particelle lente che si spostano verso la fonte calda, e questo tenderà a livellare le temperature delle due fonti.

È naturalmente possibile immaginare dei casi in cui, per un disegno contorto della sorte, tutte le particelle veloci vadano spontaneamente a destra e tutte quelle lente a sinistra, causando una differenza di temperatura, ma è tanto meno probabile quanto più grande è il numero di particelle.

Il livellarsi delle temperature esprime insomma l’alta probabilità che una distribuzione mista ha di realizzarsi, rispetto a una situazione univocamente orientata. Possiamo pensare all’analogia del lancio di una moneta, dove testa sono le particelle veloci, e croce quelle lente.

È effettivamente possibile che tirando un milione di volte la moneta, io ottenga la prima metà dei lanci sempre testa (e quindi le particelle della prima metà del gas siano tutte calde), e la seconda soltanto croce.

Ma è infinitamente meno probabile delle numerosissime situazioni in cui le combinazioni sono pressapoco casuali, e il numero di T e C è uniformemente distribuito.

 

Ora immaginiamo l’esperimento seguente: un supercomputer, o un diavoletto (in genere noto come il demone di Maxwell), un’entità che non ha comunque bisogno di nessun potere soprannaturale, si trova vicino ad una scatola, divisa in due compartimenti stagni.

Nel primo compartimento si trova del gas a temperatura T1 e nel secondo la stessa quantità, dello stesso gas, ma ad una temperatura T2 inferiore.

La parete che separa i due gas è perfettamente isolante, quindi non può esserci passaggio di calore da uno all’altro. Tuttavia, esiste una piccola porticina rimovibile tra i due gas, controllata dal nostro demone.

Quando una particella un po’meno veloce della media del gas caldo si dirige verso la porta, il demone la solleva rapidamente consentendo il passaggio. Allo stesso modo, quando una particella un po’ più veloce della media del gas freddo si dirige verso la porticina, il demone la solleva velocemente, lasciando libero il passaggio.

Niente impedisce di immaginare una porticina leggerissima, addirittura di peso trascurabile.

In altre parole, il demone è capace, grazie alla sua conoscenza specifica delle singole velocità, di trasportare calore da una sorgente fredda a una calda, in chiara contraddizione con le leggi della termodinamica e con la nostra intuizione di quello che solitamente è un processo irreversibile.

 

La chiave del problema sembra essere tutta nel fatto che il demone di Maxwell conosce più di quello che normalmente uno può sapere di un sistema termodinamico; in qualche modo l’entropia sembra collegata al concetto di informazione.

 

 

Un modo comodo per rappresentare il concetto che stiamo introducendo è lo spazio di fase: invece di rappresentare la posizione di una particella come una traiettoria dinamica nel tempo, potremmo scegliere di rappresentare le particelle in uno spazio a sei dimensioni, tre indicanti la posizione e tre le velocità nelle rispettive tre direzioni.

Se facciamo questo per le N particelle che compongono un sistema termodinamico, otteniamo uno spazio a 6N dimensioni che caratterizza tutto ciò che occorre sapere su un sistema.

 

Se infine rappresentiamo N traiettorie, in uno spazio a 6 dimensioni, otteniamo quello che si chiama un mu-spazio. Le proprietà di questo mu-spazio sono interessanti: in particolare due traiettorie nel mu-spazio non possono mai intersecarsi; questo è dovuto al determinismo delle leggi di Newton, congiuntamente alla natura del mu-spazio. Se due traiettorie si incontrassero, infatti, significherebbe che due particelle ad un dato istante, avrebbero esattamente la stessa posizione e la stessa velocità il che per le leggi di Newton significa che la loro situazione precedente e successiva in qualsiasi istante deve per forza coincidere, e quindi si tratterebbe della stessa particella.

 

Un altro fatto interessante, è che l’insieme delle traiettorie delle particelle in questione, deve per forza essere contenuto in un certo volume V. Ora dividiamo questo volume in tante parti, tutte identiche, e chiamiamo

-         un arrangiamento il modo in cui si possono infilare le N particelle nella griglia del mu-spazio.

-         Una distribuzione il numero di particelle che ci sono in ogni cubo della griglia, ma senza specificare quali sono in che cubo (senza cioè distinguere la particella 1 dalla 5 o dalla 7)

 

Ovviamente esistono moltissime microcondizioni compatibili con un arrangiamento (basta spostare di poco una particella, senza farla uscire dal suo cubo) e molti arrangiamenti per ogni distribuzione.

 

E ciò che Boltzmann, il grande fisico, ha notato rispetto all’irreversibilità, è che la distribuzione in cui tutte le particelle sono nella stessa scatola è molto, ma molto meno probabile di quelle (numerosissime) in cui le particelle sono sparpagliate un po’ ovunque nel mu-spazio, e che se io riduco artificialmente il volume utile del mu-spazio, e poi lascio il sistema libero di evolvere, esso occuperà con molta probabilità un volume più ampio, ma che è molto improbabile che il fenomeno opposto avvenga.

È un po’ l’equivalente di dire che se io so che durante mille lanci ho ottenuto 498 volte testa (condizione “macroscopica”) è molto più probabile che siano venute fuori sparse, piuttosto che tutte e 498 di fila, seguite da 502 croci.

 

E dato che la situazione in cui tutte le particelle sono nello stesso cubo corrisponde all’occupazione di un volume piccolo, mentre quella in cui sono sparpagliate corrisponde a un volume grande, la misura del mu-spazio occupato è un ottima misura di quanto “vaga” è la mia informazione termodinamica, di quante diverse combinazioni equivalgono alle stesse temperature, volumi, pressioni, e questa è precisamente l’espressione microscopica del concetto di entropia.

 

Ora, quello che abbiamo evidenziato, è un problema probabilistico. Noi sappiamo in sostanza che

-         i dati macrocoscopici di pressione, volume e temperatura non ci dicono tutto dei dati microscopici

-         un sistema la cui pressione, volume, temperatura (e energia) sono in un certo insieme di valori, sono compatibili con molte distribuzioni diverse di particelle.

-         se il numero di distribuzione possibili aumenta, l’entropia aumenta

-         è improbabile che le particelle tornino spontaneamente a occupare una configurazione di bassa entropia

 

Improbabile non significa impossibile: e in generale il fatto di associare a un sistema un gruppo di possibili arrangiamenti, e di associare al numero di arrangiamenti possibili un significato (di entropia appunto) indica un’ignoranza da parte nostra del microsistema, delle velocità e posizioni particella per particella.

L’entropia è cioè un problema epistemologico e non ontologico.

 

Al punto in cui siamo, potremmo pensare di poter derivare completamente le leggi della termodinamica dalle leggi di Newton. Naturalmente non è possibile: le leggi della termodinamica contengono una irreversibilità latente, che non esiste nelle leggi di Newton.

 

Ad esempio: prediamo una traiettoria nel mu-spazio che faccia crescere l’entropia:

una macrocondizione A evolve in B, quindi in C. Diciamo che A è una stanza in cui si trova un blocco di ghiaccio, B la stanza n cui il blocco è mezzo sciolto, C è la stanza con una pozza d’acqua.

Ora prendiamo la microcondizione C e invertiamo la velocità di tutte le particelle. Dopo un certo tempo avrò ottenuto la microcondizione B, quindi la A. Il tutto senza violare le leggi della fisica.

E quello che appare sconcertante è che sembra esserci un percorso (invertendo le velocità) che diminuisce l’entropia, per ogni percorso che aumenta l’entropia.

 

Ecco un’altro problema: prendiamo un volume nello spazio di fase, e calcoliamo la sua evoluzione dopo n secondi. Il risultato sarà un secondo volume, presumibilmente di forma diversa dal primo; tuttavia esiste un teorema, dovuto a Liouville, che dimostra che il volume dovrà essere identico.

Ed esiste un teorema, dovuto a Poincaré, che basandosi su Liouville, afferma che un sistema, chiuso in una scatola, con un’energia fissata e costante, ritornerà invariabilmente alla sua situazione di partenza.[1]

 

In altre parole significa che aspettando abbastanza tempo, il ghiaccio si riformerà nel bicchiere, l’uovo rotto si riaggiusterà, l’uomo anziano ringiovanirà, e qualsiasi processo che generalmente consideriamo irreversibile, tornerà alla sua fase iniziale.

E peggio che mai, i segmenti di traiettorie che fanno crescere l’entropia sono in numero identico a quello dei segmenti che fanno diminuire l’entropia. E questo, non occorre nemmeno specificarlo, è in ovvia contraddizione con quanto sappiamo del nostro universo.

 

Riprendiamo le nostre tre macrocondizioni A, B, e C, con il ghiaccio che si scioglie.

Ciò che Boltzmann dice in proposito è che la stragrande maggioranza delle traiettorie che passano da A deve passare in seguito da B, ma soltanto una piccolissima parte delle traiettorie che passano da B è recentemente passata da A. E questo ha senso solo se esistono molte più traiettorie che attraversano B piuttosto che A.

Il che naturalmente è esattamente ciò che significa per B, avere un’entropia superiore a A.

 

Ma il problema è più sottile: infatti, se la maggior parte delle traiettorie che passano da B non passano da A, significa che il passato di un cubo di ghiaccio mezzo sciolto, è precisamente un cubo di ghiaccio mezzo sciolto, e non un cubo di ghiaccio intero.

In altre parole, la maggior parte delle traiettorie che passano da B sono traiettorie che vanno verso un entropia maggiore e la cui simmetria temporale va anch’essa verso un max di entropia. Questo elimina il problema dell’esistenza di un’entropia decrescente per ogni entropia crescente. Purtroppo rende il passato ad alta entropia!

E quindi la discussione fatta fin’ora viola un’ipotesi, che è quella del passato, o della memoria, che dice che noi abbiamo numerose testimonianze (foto, o ricordi o altro) che in passato l’entropia era più bassa.

 

L’ipotesi della memoria non è soltanto soggettiva: ammettiamo ad esempio che dieci minuti fa io ricordi il ghiaccio non sciolto nel bicchiere, e lo usi come postulato. Ciò non toglie che l’evoluzione nel passato a partire da dieci minuti fa, indichi un aumento dell’entropia (e quindi venti minuti fa il ghiaccio era mezzo sciolto). Quello che occorre è un’ipotesi sul passato che vada indietro nel tempo fino alla nascita dell’universo, e che supponga che l’universo sia nato con entropia molto bassa.

 

E dunque una descrizione completa e coerente dei fenomeni termodinamici richiede tre ipotesi:

 

- la meccanica di newton

- il postulato di statistica: precisamente si tratta di dire che se una condizione macroscopica (la specifica di P, V, T) è compatibile con molteplici microsistemi, allora ognuno di essi ha pari chances di realizzarsi

- e naturalmente l’ipotesi del passato

 

 

Ecco un caso interessante di sfida, per il secondo principio:

 

 

Questo problema è stato proposto da Feynmann: c’è ua scatola con del gas al suo interno, e c’è un tubo che esce dalla scatola.

Il lato del tubo dentro la scatola è collegato a una turbina, mentre quello fuori dalla scatola è collegato a una ruota dentata.

La ruota dentata è montata su un ingranaggio che impedisce alla ruota di girare in senso antiorario, ma la lascia libera di girare in senso orario. E sospeso al tubo c’è un filo con attaccato un peso.

 

Adesso possiamo pensare che la turbina col gas caldo, statisticamente, sia bombardata in egual modo da tutti i lati. Ma ogni tanto, per semplice fortuna, arrivano un po’ più particelle da destra, e ogni tanto un po’ di più da sinistra. E quando arrivano da destra, la turbina è spinta in senso antiorario, ma non può girare, perché la ruota dentata lo impedisce. Ma quando arrivano da sinistra, niente impedisce alla turbina di girare: e quindi il pesino si arrotola sul tubo, e il risultato è che dal gas è possibile estrarre calore sotto forma di lavoro, nelle quantità volute e in piena violazione del postulato di Kelvin.

 

L’inghippo sta nel fatto che la ruota dentata deve (per forza di cose) esercitare attrito con il meccanismo che la blocca. E l’attrito produce calore.

Quindi questo meccanismo sfrutta l’esterno come fonte fredda in cui scaricare, e il secondo principio è salvo.

 

 

 

Facciamo un passo indietro: il problema che persiste qui, è che l’entropia non può diminuire (e questo sembra assodato), ma se davvero l’entropia è il volume dello spazio di fase occupato da un sistema isolato, allora per il teorema di Liouville non può nemmeno aumentare. E di fatto aumenta. E quindi qualcosa non torna.

 

Il demone di Maxwell, tornando a lui, pone un problema, in quanto ha bisogno di conoscere delle informazioni microscopiche sul sistema studiato. Però non è chiaro come un demone di Maxwell possa ottenere queste informazioni senza intervenire sul sistema studiato. Forse la chiave del problema è legata al fatto che un demone di Maxwell non può essere considerato separato dal sistema su cui opera.

 

E come un demone di Maxwell possa effettivamente agire, resta una questione aperta.

David Albert propone questa idea:

- il demone di Maxwell ha una sua microcondizione

- nulla dice che alla fine del suo lavoro la microcondizione sia la stessa

- e quindi il demone di Maxwell non opera ciclicamente

- Se ne deduce che possono esserci seri motivi che proibiscono al demone di Maxwell di estrarre energia utilizzabile da un sistema.

 

E sembra al dottor Albert che debba esistere una nozione estesa di entropia, ancora da chiarire, che possa rendere conto del demone di Maxwell.

Il che non toglie nulla al fatto che il dibattito resta aperto.

 

Abbiamo finalmente fissato le idee chiave del problema: per quanto resti irrisolto il dilemma del demone di Maxwell, possiamo riepilogare le ipotesi chiave:

- la meccanica di newton

- il postulato di statistica

- l’ipotesi del passato

 

L’ipotesi del passato sembra essere sfuggita a molti ma è decisamente fondamentale.

Senza di essa otteniamo un quadro coerente? Pensiamola in questi termini: un libro che ci parla del passato, diciamo del ventennio fascista, (e che quindi testimonia di un insieme di fatti avvenuti), testimonia di un passato, con entropia così bassa rispetto a oggi che è molto più probabile che quel libro sia scaturito da una fluttuazione caotica, piuttosto che da un passato in cui l’entropia era davvero così bassa.

E quindi sì, senza la terza ipotesi il mondo resta intelligibile, ma non nei termini in cui ci piace pensarlo. E una teoria fisica che deve forzare le cose a questo punto (negare il passato è una grossa forzatura), non è una buona teoria. Ergo, ci serve l’ipotesi del passato.

 

Esiste per altro una chiara differenza epistemica tra passato e futuro:

il tipo di conoscenza che posso avere del futuro è solo predittiva; ma del passato posso avere anche altri tipi di conoscenza.

Ad esempio due soli bit di informazione, due foto di un biliardo, possono darmi informazioni extra, rispetto a quanto fotografato.

Diciamo che ora vedo una palla ferma (su di un tavolo i cui diverse palline sono in movimento). Negli ultimi dieci secondi quella palla ha subito una collisione?

Per saperlo, contrariamente al futuro, non occorre calcolare la traiettoria di tutte le palline. Basta avere una fotografia di dieci secondi fa, in cui la palla era in movimento. In tal caso posso concludere che sì, la palla in questione ha subito uno shock.

E non da ultimo andrebbe ricordato che l’ipotesi del passato, l’ipotesi che il passato sia come lo ricordiamo, è un punto fondante della meccanica di newton.

Senza di esso, i nostri ricordi riguardo a come la teoria funziona, a cosa afferma, ai suoi fondamenti teorici e prove sperimentali, sono senza senso.

 

E per finire un’ultima ragione di asimmetria: la possibilità di intervento.

Esiste una chiara influenza dell’adesso, sul futuro. Esiste, diciamo, la possibilità che mentre leggete questo articolo, un ladro vi entri in casa e rubi tutto quello che avete, perché per i prossimi minuti la vostra attenzione è tutta presa dal testo. Ma non esiste nessun passato in cui qualcuno vi svaligia la casa perché adesso state leggendo questo testo.

E questa è chiaramente una conseguenza dell’ipotesi del passato.

 

David Albert, vivente è un noto filosofo statunitense. Insegna alla Columbia university

David Albert, “Time and chace”, Harvard university Press, London, 2000. 

Bibliografia consigliata:

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9mon_de_Maxwell

sul demone di Maxwell

su David Albert
Thomas Mueller. 7 maggio 2008.

prima pubblicazione lankelot

 

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